Matematický aparát fyziky
Přednáška heslovitě shrnuje základní matematické poznatky nuté pro základní práci ve vědeckých
oborech - zejména ve fyzice. Obsahuje vybrané partie středoškolské matematiky (logika,
teorie čísel, množiny a zobrazení, posloupnosti a řady, funkce, rovnice, komplexní čísla), úvod do
lineární algebry (vektorový prostor, báze a dimenze, zobrazení na vektorových prostorech, norma,
skalární a vektorový součin, matice, soustavy lin. rovnic, vlastní čísla matic a operátorů) a úvod
do matematické analýzy ( limita, diferenciální a integrální počet na R, diferenciální a integrální
počet ve více rozměrech, rozvoj funkcí v řady, diferenciální rovnice, pravděpodobnost a statistika).
Přednáška si neklade za cíl probrat problematiku do hloubky, ani nepožaduje po studentech plné zvládnutí
učiva, nýbrž má za cíl usnadnit jim orientaci v terminologii a výpočtech soudobé fyziky.
Prezentace jsou vytvořeny v aplikaci MS PowerPoint XP, ovšem vzhledem k minimálnímu
obsahu animovaných prvků a složitých stylových konstrukcí jsou snadno přenositelné i do jiných
aplikací (OpenOffice a podobně). Přednášky jsou
volně ke stažení pro všechny účastníky projektu, jejich použití pro výuku či studium i mimo projekt
je možné, čtěte pravidla pro použití dokumentů k projektu
Cesta k vědě.
Pro úspěšné zakončení kurzu je potřebná minimálně 66% docházka a vyřešení úlohy z oblasti matematické
analýzy nebo lineární algebry. Seznam úloh k řešení (řešení alespoň jedné z nich je nutnou podmínkou pro
absolvování kurzu) naleznete v dokumentu UlohyMat.pdf.
Úvod, obsah přednášky, doporučená literatura, výroková logika, kvantifikátory, logické spojky, negace výroku
Číselné množiny, přirozená čísla, metoda matematické indukce, celá čísla, racionální čísla, iracionální čísla,
reálná čísla, komplexní čísla
Co je množina, rovnost množin, vzájemné vztahy množin, zápis množin, množinové operace, množiny a zobrazení,
vlastnosti zobrazení, inverzní zobrazení, složené zobrazení, mohutnost množin
Definice posloupnosti, monotonie posloupností, omezené posloupnosti, algebraické operace s posloupnostmi,
rekurentní zadání posloupnosti, aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, zkrácené zápisy součtů a součinů
Definice funkce, graf funkce, algebraické operace s funkcemi, složené funkce, sudé a liché funkce, periodické funkce,
omezenost funkcí, lokální a globální extrémy, monotonie a prostota funkce, inverzní funkce
Elementární funkce, rovnice a její kořeny, polynomické funkce, vlastnosti kvadratické funkce, základní věta algebry,
polynomické rovnice, řešení kvadratické rovnice, řešení polynomických rovnic vyšších stupňů, racionální funkce,
hyperbolická funkce (nepřímá úměrnost), lineární lomená funkce, exponenciální funkce, logaritmické funkce, vlastnosti
exponenciál a logaritmů, logaritmická stupnice, řešení exponenciálních a logaritmických rovnic
Stupňová a oblouková míra, jednotková kružnice, funkce sinus a cosinus, funkce tangens a cotangens, součtové vzorce,
řešení goniometrických rovnic, harmonické funkce, cyklometrické funkce, součtové vzorce pro cyklometrické funkce
Imaginární jednotka a algebraický tvar komplexních čísel, Gaussova rovina, reálná a imaginární část, absolutní hodnota,
základní operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené, mocniny v oboru
C, goniometrický tvar,
součin a podíl
C čísel v goniometrickém tvaru, Moivreova věta a její použití,
n-tá odmocnina v
C,
exponenciální tvar komplexních čísel
Číselné těleso, vektorový prostor, jeho operace a axiomy, vlastnosti vektorového prostoru plynoucí přímo z axiomů,
základní vektorové prostory, lineární kombinace, lineární obal a jeho vlastnosti, lineární závislost a nezávislost,
kritéria lineární závislosti a nezávislosti, báze a dimenze vektorového prostoru, dimenze a standarní báze základních
vektorových prostorů, kroneckerovo delta, souřadnice a souřadnicový funkcionál
Matice : sčítání, násobení číslem a násobení matic, soustavy lineárních rovnic, matice soustavy, rozšířená matice soustavy,
Gaussova eliminační metoda, horní stupňovitý tvar, hodnost matice, frobeniova věta, homogenní a partikulární řešení,
transponovaná matice, permutace, determinant, rozvoj determinantu dle sloupce (řádku)
Lineární zobrazení, operátor a funkcionál, duální prostor, jádro zobrazení, předpis zobrazení bazickými vektory,
izomorfizmus, matice lineárního zobrazení, souvislost lineárních zobrazení a soustav rovnic, inverzní operátor a matice,
vlastní čísla a vektory, skalární součin a norma, ortogonalita, riezsova věta, sdružené operátory
Okoli bodu, limita posloupnosti, výpočty limit, součet nekonečné řady, výpočty a kritéria součtů nekonečných řad,
limita funkce, spojitost, Heineova věta
Co je diferenciální počet, definice derivace (fyzikální a matematický pohled), diferenciál, použití derivací,
výpočet derivací, derivace vyšších řádů, l’Hospitalovo pravidlo, úlohy o maximalizaci a minimalizaci,
vyšetřování průběhu funkcí, rozvoj funkce do Taylorova polynomu
Co je integrální počet, definice určitého integrálu, vlastnosti určitého integrálu, Newtonova formule,
definice neurčitého integrálu, vlastnosti neurčitého integrálu, výpočet neurčitého integrálu, metoda per partes,
substituční metoda, nevlastní integrál, objem rotačního tělesa, délka křivky v Rn
Parciální derivace, totální diferenciál, derivace ve směru, gradient, vektorové pole, divergence, rotace, parciální derivace
složených funkcí, extrémy funkcí více proměnných, vázané extrémy funkcí více proměnných, dvojný integrál, fubiniova věta,
substituce ve dvojném integrálu
Klasická definice pravděpodobnosti, základní vzorce kombinatoriky, geometrická představa pravděpodobnosti, Kolmogorovova definice
pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta, hustota pravděpodobnosti, poissonovo rozdělení, Gaussovo normální rozdělení,
střední hodnota, rozptyl
Řešené příklady ze cvičení : Limity funkcí, součtet nekonečných řad, limity funkcí, l'Hospitalovo pravidlo
Řešené příklady ze cvičení : Úlohy o minimalizaci a maximalizaci, vyšetřování průběhů funkcí
Řešené příklady ze cvičení : Úlohy na neurčité integrály (základní, racionální funkce, substituce, per partes)
a fyzikální aplikace určitých integrálů.
